飛矢不動悖論

飛矢不動悖論

 

睇小說最精采嘅地方莫過於睇作者點描寫武打動作。好似喺小說《王道平天下》系列嘅《畢哲公主之日常:麗素公主與黑熊》有一幕,武俠荊賀蘭同禁軍侍衛陸綺華大鬧戲團,要救出小黑熊嗰陣,就有好精采嘅描寫:

 

「賀蘭和綺華拔出手槍,跟敵方駁火,掩護莉莎和天娜離去。敵人很快耗盡彈藥了,就拔劍上前與綺華和賀蘭決鬥。賀蘭不慌不忙的拔出寶劍,往前一劈,畫出一線銀月,兩名敵人就浴血倒地。綺華也不禁示弱,一刀擋開敵人的彎刀,再一劍劏開他的肚腹。」[i]

 

 

但係,對於埃利亞學派(Ἐλέα)嘅古希臘哲學家嚟講,動作描寫其實係好荒謬嘅,因為佢哋相信一切動作同變化都係假嘅。

 

古希臘前蘇格拉底嘅哲學家大部分都係自然哲學家,佢哋關心嘅哲學問題係「依個世界由咩構成」,例如地、水、火、氣之類依啲元素。但埃利亞學派就將世界最基本嘅構成物質抽象化。巴門尼德(Parmenides 515-445 BC)認為萬物皆由「存有」(Είναι)所構成,而且只有存有係真實存在。然後佢提出「無」係不可能嘅概念,因為:

 

何以寂滅?何以化成?若往化成一物,即無物;若嘗緣起,即無物。故化成煙沒,而寂滅未聞也。(B 8.20-22)

 

人話翻譯:一件事要「發生」,即係話係一個從「無」到「有」嘅話程。件事要先係「無發生」,然後突然變為「有發生」。同理,一件事要「消失」,就係要經過一個從「有」到「無」嘅過程,由「有發生」變成「無發生」。[ii]

 

假設譚畢哲公主依個巨乳蘿莉學生妹行入課室,咁我哋就可以將譚畢哲公主嘅「存有」狀態分成兩個:

 

在時間T0,譚畢哲公主不存在於課室。

在時間T1,譚畢哲公主存在於課室。

 

巨乳蘿莉學生妹譚畢哲公主殿下

 

但巴門尼德覺得咁樣係痴Q線嘅。一樣嘢點樣可以又存在又唔存在?但「流變」、「化成」依D同變化有關嘅概念必然預設從無到有及從有到無嘅過程。可能係會話巴門尼德忽略咗時間嘅考慮;巴門尼德本人無討論時間,但係後世埃利亞學派係傾向唔承認時間存在嘅,因為時間都係流變,流變就係唔合理。就算承認時間存在,都依然可以追問點解係T0不存在嘅嘢會喺T1突然存在。

 

巴門尼德有個學生叫芝諾(Zeno),為依種極端存有論進辯護,提出所謂嘅芝諾悖論,否定變化嘅可能。芝諾悖論甚至引發咗第二次數學危機。芝諾悖論包括四個悖論:

 

  • 二分悖論(dichotomy):「運動是不可能的。因為在到達另一邊的端點前,必須先經過路徑的中點。」
  • 「阿基里斯悖論」(Achilles):「較慢者絕不會被較快者追趕過去。因為追趕者必須經過在前頭跑者經過的每一點。所以較慢者一定在較快者的某一段距離之前。」
  • 箭矢悖論(Arrow):「如果每一個物體當它占據與自己相同空間時,不是靜止不動就是在運動中,然而,在一瞬間物體已經運動完成,所以飛矢不動。」
  • 運動場悖論(Stadium):「第四個悖論關於兩列由相同大小相同數目的物體所組成的運動體,以相同的速度,相反的方向經過彼此。一列從路徑的端點,一列從中點出發。結果是時間與它的一半相等。」[iii]

 

四個悖論關數學咩事呢?正如亞里士多德所言,芝諾悖論全部都係建基於「有限時間下不可能有無限活動」之錯誤前設(Aristotle Phy VI 2),即係同「無限」依個數學概念有關(特別係無窮分割同無窮小量)。所以喺數學上要真正解決依個問題就涉及到微分,依啲嘢就留返俾宇宙牛河博士生或者Joanna Ko講啦,我依啲哲學家關心嘅係四個悖論嘅結構同埋亞里士多德嘅反駁方法。

 

首先我哋將芝諾悖論譯返做人話先。我哋試下代入《王道平天下(二):報復與寬恕》裡面嘅人物去理解四大悖論:

 

二分悖論:譚傑靈女皇由門口行入寢宮係唔可能嘅。因為由門口行入寢宮,就要先經過門口及寢宮之間之中點M1。要經過中點M1,就要經過門口與M1之中點M2。要經過M2,就要經過門口與M2之中點M3⋯⋯即係譚傑靈女皇要經過無限個中點先入到去寢宮。

 

阿基里斯悖論:跑得慢嘅麗素公主唔會俾跑得快嘅譚畢哲公主追到上嚟打佢蘿由。因為譚畢哲公主喺麗素公主後面,譚畢哲公主要追上麗素公主,就要經過麗素公主所經過嘅每一點(無限多點)。

 

箭矢悖論:男妃巴里向亂黨射箭,但支箭由巴里射向亂黨嗰陣,其實無郁過。因為支箭喺每一時刻上,一定有其確定位置,並佔有特定空間。由巴里去到亂黨位置之間,飛矢要經過無限多個位置,並且喺每一個位置上佔有特定空間。所以每一刻其實飛矢都係靜止而固定。

 

運動場悖論:假設一個橢圓形運動場上,相對於觀眾席(眾),劉莉莎帶領嘅禁軍(禁)同天娜帶領嘅太空都統使司(太)分別向左右列隊移動,如下所示:

 

眾眾眾眾

禁禁禁禁(向右移)

太太太太(向左移)

 

喺最小·時間T(一瞬間)之內,禁軍同太空都統使司各移動一個單位,咁嘅話,相對於太空都統使司,禁軍移動咗兩個單位:

 

眾眾眾眾

禁禁禁禁(向右移)

太太太太(向左移)

 

 

咁即係話禁軍既可以喺一個T時間之內移動一個單位(相對於觀眾),又可以喺半個T時間之內移動一個單位(相對於太空都統使司),形成矛盾。

 

留意一下,芝諾悖論頭三個悖論其實係玩緊有限時間vs無限空間依個矛盾。因此亞里士多德提出以下解決方法:

 

「時間、距離及持續事態之無限異義有二:或為分割,或為極限。有限時間內,物不及無限量,猶可無限分割,因時間於此義亦屬無限。過渡之時,並非有限,實屬無限。及無限者,非依有限,乃藉無限量之瞬間。」(Phy VI 2)

 

當然,亞里士多德其實依度似乎已經初步提出微分同積分嘅概念:無限大量同無窮小量係兩個唔同嘅概念。但喺形而上學上,佢更重要嘅主張係時間可無限分割。時間係作為量度事件發生嘅一把尺,如果時間嘅刻度係固定嘅,唔可以無窮分割,咁度條毛咩!你試下攞一把長1米但無刻度嘅尺同我度1069 mm出嚟啊!

 

第四個悖論就有少少唔同,係玩緊相對性距離。喺時間T內,禁軍相對於觀眾向右行咗一個單位,並相對於太空都統使司向右行咗兩個單位,兩個「移動」雖然同時發生於時間T內,但係兩個移動距離係比較緊兩個唔同嘅位置嘅兩批人,而且依兩批人根本行係唔同距離,係同一時間唔同空間,根本無矛盾。畫個圖就清楚好多:

禁軍同太空都統使司行嘅距離長度不一,空間亦相異。圖中明顯禁軍行嘅總距離略長於太空都統使司。喺時間T之下,禁軍及太空都統使司向向左右行一個單位,即|A0|=1及|B0|=1,故|AB|=|A0|+|B0|=2 ,而A0同B0都唔係喺同一空間裡面,而係喺兩個唔同嘅軌跡上。

 

亞里士多德喺未有微積分依啲數學知識嘅情況下,利用邏輯去拆解芝諾悖論,解決咗由巴門尼德去到柏拉圖一派無法解釋時間與物體運動嘅嚴重問題。亞里士多德肯定經驗世界,認為流變可以用理性解釋同理解,被視為經驗主義遠祖。但巴門尼德—柏拉圖一派堅持認為經驗觀察所得之事物,如運動、流變等,皆不合於理性,故對經驗生疑,成為理性主義遠祖。依兩套自然哲學嘅對立後來主導咗中世紀經院哲學以及啟蒙運動嘅知識論發展。

 

參考書目:

Aristotle, Physics, VI 2 http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.6.vi.html

安德烈:《王道平天下(二):報復與寬恕》,(香港:九龍日報,2018年8月3日),截取自http://kowloondaily.com/2018/08/03/%E7%8E%8B%E9%81%93%E5%B9%B3%E5%A4%A9%E4%B8%8B%EF%BC%9A%E5%A0%B1%E5%BE%A9%E8%88%87%E5%AF%AC%E6%81%95/

 

[i] 安德烈:《王道平天下系列》《畢哲公主之日常:麗素公主與黑熊》,(香港:九龍日報,2018年12月9日),截取自 http://kowloondaily.com/2018/12/09/%e7%95%a2%e5%93%b2%e5%85%ac%e4%b8%bb%e4%b9%8b%e6%97%a5%e5%b8%b8%ef%bc%9a%e9%ba%97%e7%b4%a0%e5%85%ac%e4%b8%bb%e8%88%87%e9%bb%91%e7%86%8a%ef%bc%88%e5%9b%9b%ef%bc%89/

[ii] 喺世界中心嘅哲學傳統下,從無到有,從有到無,就其實唔係咩大問題,《老子》一開頭已經講咗成個大自然就係咁樣運作。

[iii] 蘇惠玉:〈無窮的危機:讓數學家折磨數百年的「芝諾悖論」〉《關鍵評論》 ,2018年3月18日 https://www.thenewslens.com/article/91595